Савинов Ю. И. – Метод Прони. Монография. – Смоленск, издание Военной академии войсковой ПВО Вооруженных сил Российской Федерации имени Маршала Советского Союза А. М. Василевского, 2017. – 76 с.
Основными измерительными приборами для обеспечения стрельбы зенитных ракетных комплексов являются РЛС различного назначения. Процесс радиолокационных измерений, пространственная и частотная фильтрация сигналов в аппаратуре РЛС традиционно описываются в терминах спектрального анализа. Целью монографии было познакомить читателя с некоторыми новыми подходами к измерительным алгоритмам повышенного разрешения, относящихся к так называемому «современному цифровому спектральному оцениванию».
Современный цифровой спектральный анализ – динамично развивающаяся отрасль спектрального анализа, часто рассматриваемый как реальная альтернатива классическому гармоническому анализу. Хотя оба направления основываются на одном и том же положении о возможности представления сигналов как совокупности гармонических составляющих, они существенно отличаются принципами извлечения информации о количестве и параметрах этих составляющих из анализируемого сигнала.
Особенностью классического гармонического анализа является минимальное использование априорной информации о характере сигнала. Кроме предположения о разложимости сигнала в ряд по ортогональным гармоническим функциям используется лишь допущение о стационарности процессов. Основу гармонического анализа составляет преобразование Фурье, реализуемое в цифровом виде одним из самых эффективных вычислительных алгоритмов – алгоритмом быстрого преобразования Фурье (БПФ). Обработка сигналов по алгоритму БПФ эквивалентна фильтровой обработке, при которой гармонические составляющие спектра сигнала когерентно накапливаются в системе узкополосных ортогональных фильтров, обеспечивая наилучшие условия для выделения гармонических сигналов и измерения их параметров.
Благодаря простоте реализации, а также мощному теоретическому аппарату гармонический анализ нашел широкое применение в прикладных дисциплинах и технике. Вместе с тем классическому гармоническому анализу присущ ряд ограничений, связанных с «оконным» эффектом.
«Оконный» эффект – это закономерный результат преобразования Фурье, предполагающего наличие бесконечного числа гармоник в спектре любого конечного сигнала. Поэтому, даже если точно известно, что анализируемая последовательность образована одним чисто гармоническим сигналом, реакция на него при ограниченном интервале наблюдения может регистрироваться в каждом из формируемых фильтров БПФ, а не только в том фильтре, частота настройки которого соответствует анализируемому сигналу.
В ряде случаев такая реакция приводит к неверным выводам относительно наличия или отсутствия других сигналов в анализируемом процессе. С этим же связано и другое ограничение гармонического анализа. Речь идет об ограниченной разрешающей способности.
Считается, что два гармонических сигнала равной интенсивности могут регистрироваться по отдельности, если разница частот сигналов больше ширины фильтра БПФ, обратно пропорциональной интервалу наблюдения сигнала. Единственный путь повышения разрешающей способности при гармоническом анализе – увеличение интервала наблюдения, что не всегда возможно на практике, особенно при анализе короткой реализации сигнала.
Большие надежды на разрешение сигналов с близкими частотами возлагаются на методы современного цифрового спектрального анализа. Отличительной чертой методов этого направления является использование дополнительной априорной информации об анализируемых сигналах.
Прежде всего, это допущения о существовании сигнала за пределами интервала наблюдения, об ограниченном составе и характере составляющих его компонент. Анализируемая последовательность отсчетов рассматривается как фрагмент более продолжительного процесса, описываемого некоторой заданной моделью.
Спектральный анализ в данном случае сводится к поиску таких параметров модели, при которых модель совпадала бы с исходным сигналом на интервале наблюдения в среднеквадратичном смысле. Из-за этой особенности методы современного цифрового спектрального анализа часто называют параметрическими.
Высокое разрешение параметрических методов достигается за счет анализа не короткой исходной, а более длинной экстраполированной реализации сигнала, что снижает эффект «окна», присущий всем классическим методам спектрального оценивания. Степень совпадения исходной последовательности с фрагментом экстраполированной определяется структурой и порядком модели, а также точностью оценки ее параметров.
В настоящее время известно большое количество различных методов спектрального анализа, относящихся к параметрическим. Но в основе практически всех параметрических методов лежит идея о статистической связи искомых параметров модели с корреляционной матрицей данных, образованных входной последовательностью.
Хотя отличия тех или иных методов заключаются лишь в способах извлечения этой информации из корреляционной матрицы, достаточно строгой оценки эффективности параметрических методов не имеется. Также остается открытым вопрос о критерии выбора того или иного параметрического метода в различных ситуациях.
Более того, не введено и строгого понятия «короткой» выборки, определяющего целесообразность применения методов двух альтернативных направлений спектрального анализа.
В работе делается попытка объединения двух альтернативных подходов спектрального анализа с единых теоретических позиций на базе метода Прони.
Метод Прони связан с именем талантливого французского инженера и математика Гаспара Рише (Гаспар-Клер-Франсуа-Мари Рише, барон де Прони, 1750–1839). Преподаватель, а впоследствии пожизненный экзаменатор Политехнической школы, член Академии наук Гаспар Рише был известен своими трудами в области геодезии, механики и гидравлики. Руководил работами по перечислению таблиц тригонометрических и логарифмических функций немыслимой по тем временам точности, организовав при этом «вычислительную фабрику», основанную на разделении труда математиков различной квалификации.
Исследуя работу паровых машин, Прони в 1795 г. опубликовал работу, в которой предложил метод аппроксимации некоторой совокупности данных, характеризующих соотношение между давлением и объемом газов с помощью линейной комбинации экспонент, параметры которых точно подгонялись под имеющиеся данные.
При помощи своего метода Прони мог с достаточной точностью интерполировать исследуемый процесс или экстраполировать его за пределы интервала наблюдения, что требовалось для расчета работы, производимой паровыми механизмами. Метод Прони – один из старейших методов анализа, нашедший свое применение задолго до того, как сформировалось такое научное направление, как спектральный анализ.
По принципу использования априорной информации метод Прони можно отнести к параметрическим методам, поскольку при проведении анализа определяются параметры заданной модели для ограниченного числа компонент. Однако по характеру использования входных данных он качественно отличается от всех остальных параметрических методов, поскольку не является статистическим.
Данные в методе Прони связываются с моделью детерминировано. В основе метода – гениальная догадка ученого о том, что экспоненциальная модель сигнала может быть как-то связана с решением некоторого однородного разностного уравнения с постоянными коэффициентами, при помощи которого и оцениваются искомые параметры экспонент. Развитие методов современного спектрального анализа потребовало более прочного обоснования этого метода.
В монографии предлагается новый более конструктивный подход к обоснованию метода Прони, оценке его эффективности и разрешающей способности. Пересматриваются обоснования некоторых известных модификаций метода Прони и предлагается ряд новых.
Монография может быть интересна специалистам-разработчикам радиолокационного вооружения, решающих вопросы повышения разрешающей способности радиолокационных приборов.